切比雪夫多项式、节点与插值

In this post we discuss on Chebyshev polynomials, nodes and interpolation.讨论关于切比雪夫多项式、节点与插值

---

切比雪夫节点

对于拉格朗日插值公式，如何选取节点是一个重要的问题。通常而言，等距选取节点并不是一个最优的选择。我们考虑如下的问题描述： 取插值节点：$a\leq x_0\leq x_1\leq ……\leq x_n\leq b$ 满足$L_n(x_k)=f(x_k)$的多项式插值余项

$$R_n(x)=f(x)-L_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta_n)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$$

其中，

$$\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$$

选取$x_0,x_1,……,x_n$使

$$\text{max}|\omega_{n+1}(x)|=\text{min}$$

因此需要选取切比雪夫多项式$T_{n+1}(x)$的全部零点。

如果$a=-1,b=1$,那么

$$x_k=\cos(\frac{(2k+1)\pi}{2(n+1)})$$

如果$[a,b]\neq [-1,1]$,那么

$$x_k=\frac{b+a}{2}+\frac{b-a}{2}\cos(\frac{(2k+1)\pi}{2(n+1)})$$

当然选取了节点之后既可以用拉格朗日插值，也可以用牛顿插值。

切比雪夫多项式

在微分方程的研究中，切比雪夫提出切比雪夫微分方程

$$(1-x^2)y^{\prime\prime}-xy^\prime+n^2y=0$$

和

$$(1-x^2)y^{\prime\prime}-3xy^\prime+n(n+2)y=0$$

相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。 这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形。本文只研究第一类切比雪夫多项式。

第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定

$$T_0(x)=1$$ $$T_1(x)=x$$ $$T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$$

也可以用母函数表示 $\sum_{n=0}^\infty T_n(x)t^n=\frac{1-tx}{1-2tx+t^2}$

切比雪夫多项式也具有正交性，即

$$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\left\{ \begin{array}{c} 0：n\neq m\\ \pi:n=m=0\\ \pi/2:n=m\neq 0 \end{array} \right.$$

离散形式的正交性可以表示为

$$\sum_{k=1}^{n+1} T_i(x_k)T_j(x_k)=\left\{ \begin{array}{c} 0：i\neq j\\ n+1:i=j=0\\ \frac{1}{2}(n+1):0<i=j\neq n \end{array} \right.$$

根据正交性，可以得到另外一种方法来进行拉格朗日插值。设$p_n(x)=\sum_{i=0}^nc_iT_i(x)$ ，易得

$$c_i=\frac{2}{n+1}\sum_{k=1}^{n+1}f(x_k)T_i(x_k)$$