从泊松方程入手，谈论有限元的一些基本知识。
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泊松方程
泊松方程为 \begin{equation} \Delta u = f \end{equation} 在这里$ \Delta $代表的是拉普拉斯算子，而 $ f$和$\varphi $可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为 ${\nabla}^2$，因此泊松方程通常写成 \begin{equation} \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z) \end{equation}
具体的问题及求解
我们提出如下的带有边界条件的问题
求解的区域为平面单位正方形，$\Omega=[0,1]^2$。我们假设一个测试函数$\varphi$，并在上式的左边乘上这个函数，对整个区域$\Omega$积分，可以得到
\begin{equation}
-\int_\Omega \varphi \Delta u = \int_\Omega \varphi f
\end{equation}
由高斯散度定理（奥斯特罗格拉斯基公式）可以得到：
\begin{equation}
\int_\Omega \nabla\varphi \cdot \nabla u - \int_{\partial\Omega} \varphi \mathbf{n}\cdot \nabla u = \int_\Omega \varphi f
\end{equation}
我们需要让$\varphi$也同样满足边界条件（用数学属于描述就是需要让测试函数$\varphi$来自方程解的切空间），因此上式可以写成
\begin{equation}
(\nabla\varphi, \nabla u) = (\varphi, f)
\end{equation}
这里我们使用通用的内积符号$(a,b)=\int_\Omega a\; b$.我们现在的思路就是找到一个解的近似$u_h(\mathbf x)=\sum_j U_j \varphi_j(\mathbf x)$，而$U_j$是我们需要求的系数，$\varphi_i$是我们用的形函数。因此可以得到
\begin{equation}
(\nabla\varphi_i, \nabla u_h) = (\varphi_i, f), \qquad\qquad i=0\ldots N-1.
\end{equation}
现在需要求解一个矩阵代数方程
\begin{equation}
\mathbf{AU}=\mathbf{F}
\end{equation}
矩阵$\mathbf{A},\mathbf{F}$定义为
显然，这样就有$\sum_j \mathbf{A}_{ij}\mathbf{U}_j=\mathbf{F}_i$。前面看到我们是左乘$\varphi$，对于对称矩阵（自伴随的），问题是以一样的，不过对于非对称的$\mathbf{A}$，那么经验表明这样会在计算中产生更大的误差。现在整理一下：
- $\mathbf{A,U,F}$都是稀疏矩阵
- 积分的计算采用高斯积分算法
这样就是全部思路。